CET 2025 Maths – मिश्र अनुपात (Mixed Proportion) Complete Guide | Formula, Tricks, MCQs

📘 HSSC CET 2025 गणित: मिश्र अनुपात (Mixed Proportion) – सम्पूर्ण गाइड 

🎯 लक्ष्य: CET 2025 में 90+ स्कोर के लिए मिश्र अनुपात को पूरी तरह से समझें | परिभाषा, सूत्र, उदाहरण, ट्रिक्स

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🟠 अनुपात (Ratio) क्या होता है?

अनुपात दो संख्याओं की तुलना को दर्शाता है।
अगर दो राशियों को आपस में तुलना करनी हो, तो हम अनुपात का उपयोग करते हैं।

📖 परिभाषा:
जब दो संख्याओं को एक दूसरे के साथ इस रूप में लिखा जाए:
👉 A : B, इसका मतलब है A का B से अनुपात।

📌 उदाहरण:
यदि एक कक्षा में 10 लड़के और 5 लड़कियाँ हैं,
तो लड़के और लड़कियों का अनुपात = 10 : 5 = 2 : 1 ✅

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🟢 मिश्र अनुपात (Mixed Proportion) क्या होता है?

मिश्र अनुपात वह अनुपात होता है जिसमें 2 से अधिक अनुपातों को एक साथ जोड़कर एक नया अनुपात निकाला जाता है।

📘 मुख्य सूत्र:
जब दो या अधिक अनुपात जुड़े हों, और किसी तीसरे मान की तुलना करनी हो, तो हम मिश्र अनुपात का उपयोग करते हैं।

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🧠 सरल उदाहरण से समझें:

🧪 उदाहरण 1:
यदि A : B = 2 : 3 और B : C = 4 : 5 हो, तो A : C कितना होगा?

हल:
A : B = 2 : 3
B : C = 4 : 5

B दोनों में सामान्य (Common) है। B को समान करने के लिए:
A : B = 8 : 12 (2×4 : 3×4)
B : C = 12 : 15 (4×3 : 5×3)

अब A : C = 8 : 15 ✅

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📊 मिश्र अनुपात के दैनिक जीवन में उपयोग:

1. व्यंजन बनाने में (दूध:पानी:चीनी)

2. साझेदारी में लाभ वितरण

3. समय और कार्य (Time & Work)

4. गति और दूरी में

5. मिश्रण (Mixture) समस्याओं में

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📌 प्रमुख चिन्ह और उनका अर्थ:

चिन्ह	अर्थ
:	अनुपात (Ratio)
∝	अनुपाती (Proportional)
=	समान (Equal)
x	अज्ञात मान (Unknown)

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🎯 CET स्तर का प्रश्न:

🔍 प्रश्न: यदि A : B = 3 : 4 और B : C = 5 : 6, तो A : C = ?
✍️ हल:
A : B = 3×5 : 4×5 = 15 : 20
B : C = 5×4 : 6×4 = 20 : 24
तो A : C = 15 : 24 = 5 : 8 ✅

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🧠 Mind Map (Part 1 सारांश)

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[अनुपात] → [सरल अनुपात] → [संयोजित अनुपात] → [मिश्र अनुपात] ↘ उपयोग: समय व कार्य, मिश्रण, गति

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🟢 मिश्र अनुपात के लिए महत्वपूर्ण सूत्र (Important Formulas of Mixed Proportion)

📌 1. यदि A : B = a : b और B : C = c : d

तो A : C = (a × c) : (b × d)

🧪 उदाहरण:
A : B = 2 : 3, B : C = 4 : 5
⇒ A : C = (2×4):(3×5) = 8 : 15 ✅

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📌 2. जब तीन अनुपात एक श्रृंखला में हों:

यदि A : B = a : b, B : C = c : d, C : D = e : f
⇒ A : D = a × c × e : b × d × f

🧪 उदाहरण:
A : B = 2:3, B : C = 4:5, C : D = 6:7
⇒ A : D = (2×4×6) : (3×5×7) = 48 : 105 ✅

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📌 3. Inverse (विलोम) अनुपात:

यदि A : B = a : b
तो Inverse ratio = B : A = b : a

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📌 4. मिश्र अनुपात का उपयोग अगर किसी एक तत्व का मान ज्ञात हो:

यदि A : B = a : b और A = k
तो B = (b/a) × k

🧪 उदाहरण:
A : B = 3:4 और A = 90
तो B = (4/3) × 90 = ₹120 ✅

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🧠 Shortcut Trick 1: Chain Rule Method (श्रृंखला विधि)

जब 2 से ज्यादा अनुपात जुड़े हों:

🔗 Step-by-step Multiply:

1. सभी ratios को एक साथ जोड़ो

2. Common element को समान बनाओ

3. अंतिम अनुपात निकालो

🧪 उदाहरण:
A : B = 2 : 3
B : C = 4 : 5
C : D = 6 : 7

👉 Final Ratio: A : D
Step 1:
A : B = 2×4×6 = 48
D = 3×5×7 = 105
So, A : D = 48 : 105 ✅

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🧠 Shortcut Trick 2: Unit Cross Multiply

जब प्रश्न हो:
👉 “A का B से अनुपात 2:3 है, B का C से अनुपात 5:7 है, तो A का C से अनुपात क्या होगा?”

📌 Multiply cross:

• A : B = 2 : 3

• B : C = 5 : 7

Make B same:

• A : B = 10 : 15

• B : C = 15 : 21

So, A : C = 10 : 21 ✅

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🔢 प्रश्नों को हल करने के लिए शॉर्टकट याद रखने के टिप्स:

✅ Step Trick:

Step	Action	Example Use
1	सभी अनुपातों को सूचीबद्ध करें	A : B, B : C, ...
2	कॉमन तत्व को समान बनाएं	B को दोनों में 15 किया
3	बाहरी तत्वों को जोड़ें	A : C = 10 : 21
4	अंतिम अनुपात को simplify करें	10 : 21 = final ratio ✅

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📚 Important CET 2025 Trick Question:

🧪 Q: If A : B = 3:4, B : C = 2:5, and C : D = 6:7. What is A : D?

➡ Step-by-step:
A : B = 3×2×6 = 36
D = 4×5×7 = 140
✅ A : D = 36 : 140 = 18 : 70 = 9 : 35

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✅ CET 2025 Mixed Proportion Practice Questions (Q1–Q20)

हर प्रश्न के साथ दिया गया है हल और ट्रिक

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🔢 Q1. A : B = 2 : 3, B : C = 4 : 5. Find A : C?

📌 Solution:
Convert B in both ratios to common:
A : B = 8 : 12
B : C = 12 : 15
So, A : C = 8 : 15 ✅

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🔢 Q2. A : B = 3 : 5, B : C = 7 : 8. Find A : C.

➡ A : B = 21 : 35
➡ B : C = 35 : 40
So, A : C = 21 : 40 ✅

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🔢 Q3. A : B = 5 : 6, B : C = 2 : 3, C : D = 4 : 5. Find A : D.

➡ A : D = (5×2×4):(6×3×5) = 40 : 90 = 4 : 9 ✅

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🔢 Q4. If A : B = 6 : 7 and B = ₹1400, find A.

➡ A = (6/7) × 1400 = ₹1200 ✅

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🔢 Q5. A : B = 7 : 9 and B : C = 2 : 5. Find A : C.

➡ A : B = 14 : 18
➡ B : C = 18 : 45
So, A : C = 14 : 45 ✅

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🔢 Q6. If A : B : C = 2 : 3 : 4, and total = 180, find value of B.

➡ Total parts = 2 + 3 + 4 = 9
➡ B = (3/9) × 180 = ₹60 ✅

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🔢 Q7. A : B = 3 : 4, B : C = 2 : 3, C : D = 5 : 6

Find A : D

➡ Multiply A : D = 3×2×5 : 4×3×6 = 30 : 72 = 5 : 12 ✅

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🔢 Q8. A : B : C = 2 : 4 : 5. Find the ratio of (A + B) : C

➡ A + B = 2 + 4 = 6
So, (A + B) : C = 6 : 5 ✅

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🔢 Q9. A : B = 1 : 3, B : C = 3 : 5. Find A : C

➡ A : B = 1×3 : 3×3 = 3 : 9
➡ B : C = 3×1 : 5×1 = 3 : 5
So, A : C = 3 : 5 ✅

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🔢 Q10. If A : B = 4 : 5, and B = ₹300, find A.

➡ A = (4/5) × 300 = ₹240 ✅

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🔢 Q11. A : B = 2 : 5, B : C = 5 : 8, A : C = ?

➡ A : B = 2 : 5
➡ B : C = 5 : 8
➡ A : C = 2 : 8 = 1 : 4 ✅

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🔢 Q12. A : B : C = 3 : 4 : 6, Find (B + C) : A

➡ B + C = 4 + 6 = 10
➡ So, 10 : 3 ✅

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🔢 Q13. A : B = 3 : 5, B : C = 6 : 7

Find A : C

➡ A : B = 18 : 30
➡ B : C = 30 : 35
So, A : C = 18 : 35 ✅

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🔢 Q14. A : B : C = 2 : 5 : 7, Find A : (B + C)

➡ B + C = 5 + 7 = 12
➡ So, A : (B + C) = 2 : 12 = 1 : 6 ✅

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🔢 Q15. If B : C = 3 : 4 and C = ₹200, find B.

➡ B = (3/4) × 200 = ₹150 ✅

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🔢 Q16. A : B = 6 : 5, B : C = 2 : 3

Find A : C

➡ A : B = 12 : 10
➡ B : C = 10 : 15
So, A : C = 12 : 15 = 4 : 5 ✅

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🔢 Q17. A : B : C = 3 : 2 : 1

Find the ratio of A : (B + C)

➡ B + C = 2 + 1 = 3
So, A : (B + C) = 3 : 3 = 1 : 1 ✅

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🔢 Q18. If A : B = 2 : 3 and A = ₹80, then B = ?

➡ B = (3/2) × 80 = ₹120 ✅

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🔢 Q19. A : B = 4 : 7 and B : C = 7 : 9

Then A : C = ?

➡ A : B = 4×7 = 28
➡ B : C = 7×9 = 63
So, A : C = 28 : 63 = 4 : 9 ✅

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🔢 Q20. A : B : C = 1 : 2 : 3. What is the ratio of C : A?

➡ Reverse = 3 : 1 ✅

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🧠 Mixed Proportion in Real-Life & Word Problems

मिश्र अनुपात के प्रश्न अकसर उन टॉपिक्स में आते हैं जहाँ एक से अधिक अनुपात आपस में जुड़े होते हैं — जैसे साझेदारी (Partnership), पाइप्स और टंकी (Pipes & Cisterns), समय और कार्य (Time & Work), आदि।

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💡 1. Pipes & Cistern Word Problem (पाइप और टंकी से संबंधित प्रश्न)

🧪 Q1. Pipe A fills a tank in 10 minutes, Pipe B in 15 minutes. Both open together. What is the ratio of water filled by A and B in 5 minutes?

➡ A’s 1-min work = 1/10
➡ B’s 1-min work = 1/15
➡ In 5 minutes: A = 5/10 = 1/2, B = 5/15 = 1/3

📊 Ratio = (1/2) : (1/3) = 3 : 2 ✅

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💡 2. Partnership Word Problem

🧪 Q2. A and B invested in a business in the ratio 3:4. A remained for 6 months, B for 9 months. What is profit sharing ratio?

➡ Time multiplied:
A = 3×6 = 18
B = 4×9 = 36
➡ Profit Ratio = 18 : 36 = 1 : 2 ✅

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💡 3. Time and Work with Mixed Proportion

🧪 Q3. A can do a work in 12 days, B in 16 days, C in 24 days. If all work together, in what ratio will they share wages?

➡ A’s 1 day work = 1/12
➡ B = 1/16
➡ C = 1/24

📌 LCM = 48
A = 4, B = 3, C = 2
So, Ratio = 4:3:2 ✅

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💡 4. Mixture Problems with Mixed Ratios

🧪 Q4. A mixture contains milk and water in ratio 4 : 1. If 5 litres of water is added, the new ratio becomes 4 : 2. Find quantity of milk.

➡ Let milk = 4x, water = x
Now, 4x : x + 5 = 4 : 2
Cross multiply:
2(4x) = 4(x + 5)
8x = 4x + 20 ⇒ 4x = 20 ⇒ x = 5
Milk = 4x = 20 litres ✅

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💡 5. Speed and Distance Example

🧪 Q5. A runs at 5 km/h, B at 10 km/h, C at 15 km/h. In 1 hour, what is the ratio of distances?

➡ Distance = Speed × Time
Time = 1 hour
Ratio = 5 : 10 : 15 = 1 : 2 : 3 ✅

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📚 More Word Problems for CET 2025 Practice

Q.No	Type	Concept Used	Final Ratio
Q6	Labour Wage Sharing	Time × Efficiency	3:4:5
Q7	Revenue Division	Capital × Time	7:6:5
Q8	Milk-Water Mixture	Volume Proportion	4:1 → 4:2 converted
Q9	Exam Marks Comparison	Marks Ratio	5:7:8
Q10	Speed-Time	Inverse Proportionality	1:2:3

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🧠 Conceptual Mind Note:

[Mixed Proportion]
    ↓ Used In ↓
[Pipes & Tanks] → [Partnerships]
   ↓                  ↓
[Mixture Ratio]     [Time & Work]
   ↓                  ↓
[Speed & Distance]  [Marks Distribution]

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🧩 CET Exam Alert:

CET 2025 में मिश्र अनुपात से जुड़े कम से कम 2 प्रश्न पूछे जाते हैं
अक्सर ये Real-Life Case Study Type में होते हैं – विशेषकर पाइप्स, साझेदारी और मिश्रण जैसे विषयों में।

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✅ CET 2025 Mixed Proportion Advanced MCQ Set (Q1–Q20)

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🔢 Q1. If A : B = 2 : 3, B : C = 3 : 5, then A : C = ?

➡ A : B = 2×5 = 10
➡ B : C = 3×3 = 9
➡ So, A : C = 10 : 15 = 2 : 3 ✅

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🔢 Q2. A : B = 5 : 8, B : C = 4 : 9. What is A : C?

➡ A : B = 20 : 32
➡ B : C = 32 : 72
➡ So, A : C = 20 : 72 = 5 : 18 ✅

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🔢 Q3. A : B = 7 : 9 and B : C = 2 : 3. Then what is A : C?

➡ A : B = 14 : 18
➡ B : C = 18 : 27
➡ So, A : C = 14 : 27 ✅

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🔢 Q4. If A : B = 3 : 5, and B = ₹1000, find A.

➡ A = (3/5) × 1000 = ₹600 ✅

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🔢 Q5. If A : B : C = 2 : 3 : 5, and total = ₹1000, then find share of C.

➡ Total parts = 2+3+5 = 10
➡ C = (5/10) × 1000 = ₹500 ✅

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🔢 Q6. A, B and C enter into partnership. A invests ₹8000 for 12 months, B ₹10000 for 8 months, C ₹12000 for 6 months. What is profit sharing ratio?

➡ A = 8000×12 = 96000
➡ B = 10000×8 = 80000
➡ C = 12000×6 = 72000
➡ Ratio = 96 : 80 : 72 = 12 : 10 : 9 ✅

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🔢 Q7. A tank is filled by three pipes A, B, C in 10, 15, 30 mins respectively. What is water filled by each in 1 minute?

➡ A = 1/10, B = 1/15, C = 1/30
➡ LCM = 30 → A = 3, B = 2, C = 1
➡ Ratio = 3 : 2 : 1 ✅

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🔢 Q8. A : B : C = 6 : 8 : 10, Find the ratio (A + B) : C.

➡ A + B = 6 + 8 = 14
➡ So, 14 : 10 = 7 : 5 ✅

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🔢 Q9. Speed of A : B : C = 2 : 3 : 4. In same time, ratio of distances?

➡ Ratio = same as speed = 2 : 3 : 4 ✅

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🔢 Q10. A : B : C = 3 : 4 : 6. Then find ratio (A + C) : B.

➡ A + C = 3 + 6 = 9
➡ Ratio = 9 : 4 ✅

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🔢 Q11. A : B = 1 : 2, B : C = 3 : 5, find A : C.

➡ A : B = 3 : 6
➡ B : C = 6 : 10
➡ A : C = 3 : 10 ✅

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🔢 Q12. A : B = 4 : 5, B : C = 10 : 11, find A : C.

➡ A : B = 8 : 10
➡ B : C = 10 : 11
➡ A : C = 8 : 11 ✅

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🔢 Q13. A, B, C do a piece of work in 12, 16, and 24 days. Share of wages?

➡ LCM = 48
➡ A = 4, B = 3, C = 2
➡ Ratio = 4 : 3 : 2 ✅

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🔢 Q14. A : B : C = 3 : 2 : 1. Find C : A.

➡ C : A = 1 : 3 ✅

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🔢 Q15. A gets ₹1200, B gets ₹1800. Ratio A : B?

➡ A : B = 1200 : 1800 = 2 : 3 ✅

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🔢 Q16. B : C = 2 : 3, C : D = 4 : 5. Find B : D.

➡ B : C = 8 : 12
➡ C : D = 12 : 15
➡ B : D = 8 : 15 ✅

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🔢 Q17. If A : B = 3 : 5, A = ₹180. Find B.

➡ B = (5/3) × 180 = ₹300 ✅

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🔢 Q18. A : B : C = 3 : 4 : 5, Find (A + B) : C.

➡ A + B = 3 + 4 = 7
➡ Ratio = 7 : 5 ✅

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🔢 Q19. A : B = 2 : 3, B : C = 6 : 7. Find A : C.

➡ A : B = 4 : 6
➡ B : C = 6 : 7
➡ A : C = 4 : 7 ✅

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🔢 Q20. A, B invested ₹6000 and ₹9000 for 6 and 8 months. Share profit?

➡ A = 6000×6 = 36000
➡ B = 9000×8 = 72000
➡ Ratio = 1 : 2 ✅

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🧠 Final Mind Map: Mixed Proportion at a Glance

📘 Mixed Proportion
│
├── 🔹 Compound Ratios (2+ ratios linked)
│     └── A : B and B : C → A : C = AC : BD
│
├── 🔹 Applications
│     ├── Time & Work
│     ├── Pipes & Cistern
│     ├── Partnership
│     ├── Mixtures
│     └── Speed & Distance
│
├── 🔹 Key Formulas
│     ├── Multiply matching elements
│     ├── Chain Rule for 3+ ratios
│     └── Cross Multiply to simplify
│
└── 🔹 CET Focus
      ├── Ratio-based MCQs
      └── Real-life situation based problems

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📘 Last-Minute Practice – Rapid MCQs (Q1–Q20)

🕒 Try in 5 mins | Mark ✓ or ✗ for self-check

Q.No	Question	Answer
Q1	A : B = 2:3, B : C = 4:5. Find A : C	8 : 15
Q2	A : B = 5:6, C : D = 3:4. If B = C, find A : D	5 : 8
Q3	A = ₹200, A : B = 3 : 5. Find B	₹333.33
Q4	A : B : C = 2:3:4. What is A : C?	1 : 2
Q5	A : B = 3:4, B : C = 6:7. Find A : C	9 : 14
Q6	Speed Ratio A:B:C = 1:2:3. Find distance ratio (1 hr)	1:2:3
Q7	A : B = 2:5, B : C = 3:4. Find A : C	6 : 20
Q8	Time ratio = 3 : 2. Efficiency ratio?	2 : 3
Q9	A : B = 4 : 5. A + B = ₹1800. Find A	₹800
Q10	A : B : C = 3 : 2 : 1. Find (A + B) : C	5 : 1
Q11	B : C = 2 : 3, C = ₹600. Find B	₹400
Q12	A = ₹100, A : B : C = 1 : 2 : 3. Find B	₹200
Q13	Work ratio A : B = 5 : 6. Time ratio?	6 : 5
Q14	Investment = 4:5:6, Time = 6:8:9. Profit ratio?	24:40:54
Q15	A : B = 1:2. B = ₹300. Find A	₹150
Q16	A : B : C = 2:3:5. Find C’s share if total = ₹1000	₹500
Q17	A : B : C = 6 : 3 : 2. Find (A + B) : C	9 : 2
Q18	Milk:Water = 4:1. Add 5L water → New ratio?	4:2 = 2:1
Q19	Speed A : B = 5:10. Time ratio?	2 : 1
Q20	A, B do work in 10, 20 days. Work ratio?	2 : 1

---

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औसत (Average) – 80 महत्वपूर्ण प्रश्न और शॉर्ट ट्रिक्स | CET, HSSC, SSC के लिए सम्पूर्ण कक्षा

📘 औसत (Average) – 80 हल प्रश्न | Tricks & Solutions | GyaanPediya

H1: औसत (Average) का सारांश:

📌 सूत्र:

$$\text{Average (औसत)} = \frac{\text{कुल योग (Sum)}}{\text{संख्या (Count)}}$$

औसत (Average) क्या होता है?

परिभाषा (Definition):
जब किसी समूह के सभी मानों का योग करके उसे कुल मानों की संख्या से भाग दिया जाता है, तो जो मान प्राप्त होता है, उसे औसत (Average) कहते हैं।

Formula (सूत्र):

$$\text{औसत (Average)} = \frac{\text{कुल योग (Sum of values)}}{\text{कुल संख्या (Number of values)}}$$

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 औसत से संबंधित मुख्य बिंदु

• औसत हमेशा सभी संख्याओं के बीच का मान (middle value) दर्शाता है।

• यदि सभी मान समान हों तो औसत वही मान होगा।

• औसत बढ़ाने या घटाने के लिए हम नए मानों को जोड़ सकते हैं।

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 PART 1 – Basic Average (10 Questions)

Q1. संख्याएँ: 5, 10, 15, 20, 25 — औसत क्या है?
👉 हल: $\frac{5+10+15+20+25}{5} = \frac{75}{5} = \boxed{15}$

Trick: एक समान अंतर वाली श्रृंखला हो तो औसत = मध्य संख्या

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Q2. औसत = 30, 5 संख्याएँ हैं। कुल योग?
👉 हल: $30 \times 5 = \boxed{150}$

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Q3. 3 संख्याएँ 45, 55, 60 हैं। औसत?
👉 हल: $\frac{45+55+60}{3} = \boxed{53.33}$

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Q4. औसत 40 है। 4 संख्याएँ 35, 45, 50, x हैं। x?
👉 हल:

$$40 \times 4 = 160,\ 35+45+50 = 130,\ x = 160 - 130 = \boxed{30}$$

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Q5. औसत = 25, संख्या = 8। कुल योग = ?
👉 हल: $25 \times 8 = \boxed{200}$

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Q6. 4 दोस्तों की उम्र का औसत 20 है। एक नया दोस्त जुड़ा जिससे औसत 21 हो गया। नए दोस्त की उम्र?
👉 हल:
पुराना योग = 20×4 = 80
नया योग = 21×5 = 105
नई उम्र = 105 – 80 = 25

Trick:

$$\text{New Value} = \text{New Avg × New Count} – \text{Old Total}$$

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Q7. A, B, C के औसत अंक 60 हैं। यदि D को मिलाकर औसत 64 हो गया, तो D के अंक?
👉 हल:
60×3 = 180,
64×4 = 256,
256–180 = 76

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Q8. किसी कंपनी के 5 कर्मचारियों की औसत आय ₹40,000 है। यदि एक नई जॉइनिंग से औसत ₹42,000 हो जाए, तो नए कर्मचारी की आय?
👉 हल:
5×40,000 = 200,000
6×42,000 = 252,000
Difference = ₹52,000 = New income

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Q9. औसत 70, 7 संख्याएँ, लेकिन एक संख्या ग़लती से 60 की जगह 80 ली गई। सही औसत?
👉 हल:
गलत योग = 70×7 = 490
सही योग = 490 – 80 + 60 = 470
सही औसत = $\frac{470}{7} = \boxed{67.14}$

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Q10. 12 क्रिकेटर्स की औसत रन = 50, एक को निकालने पर औसत = 48। निकाले गए खिलाड़ी के रन?
👉 हल:
12×50 = 600
11×48 = 528
Difference = 72 रन

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🔶 PART 2 – Missing Term Type (Q11 to Q20)

Q11. 5 विद्यार्थियों का औसत अंक 60 है। चार विद्यार्थियों के अंक 62, 58, 61, 59 हैं। पाँचवें के अंक?

हल:
Total = 60 × 5 = 300
Given = 62 + 58 + 61 + 59 = 240
Missing = 300 – 240 = ✓ 60

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Q12. 6 संख्याओं का औसत 45 है। पाँच संख्याओं का कुल योग 230 है। छठी संख्या?

हल:
Total = 6 × 45 = 270
Missing = 270 – 230 = ✓ 40

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Q13. 8 खिलाड़ियों का औसत स्कोर 50 है। एक खिलाड़ी को हटाने पर औसत 48 हो जाता है। हटाए गए का स्कोर?

हल:
Total(8) = 400, Total(7) = 336
Removed = 400 – 336 = ✓ 64

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Q14. 4 दोस्तों के औसत पैसे ₹75 हैं। 3 दोस्तों के पास ₹80, ₹70, ₹60 हैं। 4वें के पास कितने?

हल:
Total = 4×75 = 300,
Given = 80+70+60 = 210
Missing = 300–210 = ✓ ₹90

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Q15. एक समूह के औसत अंक 70 हैं। एक सदस्य के जाने से औसत 68 हो गया। यदि समूह में पहले 10 सदस्य थे, तो गए सदस्य के अंक?

हल:
Old Total = 70×10 = 700
New Total = 68×9 = 612
Missing = 700 – 612 = ✓ 88

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Q16. औसत 25 है, 7 संख्याओं का। एक संख्या हटाई गई जिससे औसत 24 हो गया। हटाई गई संख्या?

हल:
Total = 25×7 = 175
New Total = 24×6 = 144
Missing = 175 – 144 = ✓ 31

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Q17. 9 छात्रों का औसत वजन 60 kg है। यदि एक छात्र का वजन 66 kg हो, तो बाकी 8 छात्रों का औसत?

हल:
Total = 60×9 = 540
Remaining = 540 – 66 = 474
Average = 474 / 8 = ✓ 59.25 kg

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Q18. औसत = 50, 5 संख्याएँ। यदि दो संख्याएँ 45 और 55 हैं, बाकी तीन का औसत?

हल:
Total = 250
Remaining = 250 – (45 + 55) = 150
Average = 150 / 3 = ✓ 50

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Q19. एक टीम के 6 खिलाड़ियों का औसत 45 है। कप्तान के आने से औसत 48 हो गया। कप्तान के रन?

हल:
6×45 = 270, 7×48 = 336
Captain = 336 – 270 = ✓ 66

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Q20. औसत उम्र 30 वर्ष है। एक सदस्य 40 साल का जुड़ने पर औसत 31 हो गया। पहले कितने सदस्य थे?

Trick:

$$x \text{ सदस्य थे} \Rightarrow \frac{30x + 40}{x + 1} = 31 \Rightarrow 30x + 40 = 31x + 31 \Rightarrow x = 9$$

✓ उत्तर: 9 सदस्य

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🔷 PART 3 – Change in Average (Q21 to Q30) | औसत में वृद्धि/घटाव के प्रश्न

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Q21. 5 छात्रों का औसत 60 है। एक नया छात्र जुड़ता है जिससे औसत 62 हो जाता है। नए छात्र के अंक?

हल:
Old Total = 60×5 = 300
New Total = 62×6 = 372
New student = 372 – 300 = ✓ 72

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Q22. 8 छात्रों का औसत 50 है। एक छात्र जाने से औसत 48 हो गया। गया छात्र कितने अंक लाया था?

हल:
Old Total = 8×50 = 400
New Total = 7×48 = 336
Missing = 400 – 336 = ✓ 64

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Q23. 10 लोगों का औसत वजन 60 kg है। 1 व्यक्ति को निकालने पर औसत 59 kg हो जाता है। निकाले गए का वजन?

हल:
Old = 600, New = 531
Missing = 600 – 531 = ✓ 69 kg

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Q24. 7 क्रिकेटरों का औसत स्कोर 40 है। एक को हटाने पर औसत 38 हो जाता है। हटाया गया स्कोर?

हल:
Old = 280, New = 38×6 = 228
Answer = 280 – 228 = ✓ 52

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Q25. औसत 35 है, 6 छात्रों के लिए। एक छात्र जुड़ने पर औसत 36 हो गया। नया छात्र?

Trick:
Old = 35×6 = 210
New = 36×7 = 252
New Student = 252 – 210 = ✓ 42

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Q26. 4 लोगों की औसत उम्र 25 है। एक नए के आने पर औसत 26 हो जाता है। नए की उम्र?

हल:
4×25 = 100,
5×26 = 130
New = 130 – 100 = ✓ 30 वर्ष

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Q27. एक टीम का औसत स्कोर 50 है। एक खिलाड़ी के स्कोर 70 करने पर औसत 51 हो गया। टीम में कितने सदस्य?

Trick (Reverse Engineering):
Let members = x
Old Total = 50x
New Total = 50x + 70
Average = (50x + 70)/(x + 1) = 51
⇒ 50x + 70 = 51x + 51
⇒ x = 19

✓ उत्तर: 19 सदस्य

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Q28. 6 मशीनों की औसत क्षमता 40 यूनिट है। एक और मशीन जोड़ने से औसत 42 हो गया। नई मशीन की क्षमता?

हल:
6×40 = 240,
7×42 = 294
New = 294 – 240 = ✓ 54

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Q29. औसत 48 है, 5 छात्रों का। 6वां छात्र 60 अंक लाता है तो औसत कितना होगा?

हल:
Old = 240,
New = 240 + 60 = 300
New Average = 300 / 6 = ✓ 50

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Q30. औसत उम्र 28 है 5 छात्रों की। एक 30 वर्षीय जुड़ने पर औसत?

हल:
Total = 5×28 = 140,
New = 140 + 30 = 170
Avg = 170 / 6 = ✓ 28.33

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📌 Short Trick Summary:

• जब कोई नया सदस्य जुड़ता है:

  $$\text{New Value} = (\text{New Avg × New Total}) – \text{Old Total}$$

• जब कोई सदस्य हटा:

  $$\text{Removed Value} = \text{Old Total} – \text{New Avg × New Count}$$

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🔷 PART 4 – Combined Group Average (Q31 to Q40)

📘 जब दो या अधिक समूहों को मिलाकर औसत निकालना हो

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Q31. 30 छात्रों की औसत उम्र 15 वर्ष है। 20 छात्रों की औसत उम्र 20 वर्ष है। दोनों को मिलाकर औसत उम्र क्या होगी?

हल:
Total Age = 30×15 + 20×20 = 450 + 400 = 850
Total Students = 50
Average = 850 ÷ 50 = ✓ 17 वर्ष

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Q32. दो समूहों का औसत क्रमशः 40 और 60 है। संख्या क्रमशः 4 और 6 है। दोनों को मिलाकर औसत?

हल:
Total = 4×40 + 6×60 = 160 + 360 = 520
Avg = 520 ÷ 10 = ✓ 52

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Q33. ग्रुप A में 10 लोग हैं जिनका औसत 30 है, और ग्रुप B में 5 लोग हैं जिनका औसत 40 है। दोनों को मिलाकर औसत कितना होगा?

हल:
A का योग = 10×30 = 300
B का योग = 5×40 = 200
कुल योग = 500
कुल लोग = 15
Average = 500 ÷ 15 = ✓ 33.33

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Q34. ग्रुप X में 8 लोग हैं जिनकी औसत आयु 36 है और ग्रुप Y में 12 लोग हैं जिनकी औसत आयु 42 है। संयुक्त औसत क्या होगा?

हल:
X = 8×36 = 288
Y = 12×42 = 504
Total = 792, Count = 20
Avg = 792 ÷ 20 = ✓ 39.6

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Q35. 12 छात्रों का औसत स्कोर 75 है। कुछ और छात्रों का औसत 60 है। यदि दोनों मिलाकर औसत 66 बनता है, तो नए छात्रों की संख्या कितनी है?

हल:
मान लें नए छात्र = x
तो,
12×75 + x×60 = (12+x)×66
900 + 60x = 66x + 792
⇒ 108 = 6x
⇒ x = ✓ 18 छात्र

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Q36. एक स्कूल की दो कक्षाओं में क्रमशः 40 और 60 छात्र हैं। पहली कक्षा का औसत अंक 50 और दूसरी का 60 है। दोनों को मिलाकर औसत अंक?

हल:
Total = 40×50 + 60×60 = 2000 + 3600 = 5600
Total students = 100
Avg = 5600 ÷ 100 = ✓ 56

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Q37. 25 छात्रों का औसत अंक 32 है। कुछ और छात्रों का औसत 28 है। यदि मिलाकर औसत 30 है, तो नए छात्रों की संख्या?

हल:
मान लें नए छात्र = x
तो,
25×32 + x×28 = (25+x)×30
800 + 28x = 750 + 30x
2x = 50 ⇒ x = ✓ 25 छात्र

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Q38. टीम A में 20 लोग हैं जिनका औसत 55 है और टीम B में 30 लोग हैं जिनका औसत 45 है। दोनों को मिलाकर औसत?

हल:
A = 20×55 = 1100
B = 30×45 = 1350
Total = 2450
Total members = 50
Average = 2450 ÷ 50 = ✓ 49

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Q39. समूह 1 में 12 लोग हैं जिनका औसत वेतन ₹15000 है। समूह 2 में 18 लोग हैं जिनका औसत ₹12000 है। संयुक्त औसत वेतन क्या होगा?

हल:
Total = (12×15000 + 18×12000) = 180000 + 216000 = ₹396000
Count = 30
Average = 396000 ÷ 30 = ✓ ₹13200

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Q40. समूह A में 10 लोग हैं जिनका औसत वजन 65 kg है और समूह B में 5 लोग हैं जिनका औसत 55 kg है। दोनों मिलाकर औसत वजन?

हल:
Total = 10×65 + 5×55 = 650 + 275 = 925
Total people = 15
Average = 925 ÷ 15 = ✓ 61.67 kg

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📌 Shortcut Tip:

$$\text{Combined Average} = \frac{(n_1 × avg_1 + n_2 × avg_2)}{n_1 + n_2}$$

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🔷 PART 5 – औसत आधारित उम्र और अंक के प्रश्न (Q41 to Q50)

📘 Age, Marks & Classroom Type Real-Life Average Questions

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Q41. एक कक्षा में 5 छात्रों की औसत उम्र 10 वर्ष है। एक नया छात्र जुड़ता है जिससे औसत 11 वर्ष हो जाता है। नए छात्र की उम्र?

हल:
5×10 = 50
6×11 = 66
66 – 50 = ✓ 16 वर्ष

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Q42. एक कक्षा में 20 छात्रों का औसत स्कोर 60 है। यदि 5 छात्रों के स्कोर 80 हैं, तो बाकी 15 छात्रों का औसत?

हल:
Total = 20×60 = 1200
5 Students = 5×80 = 400
Remaining = 1200 – 400 = 800
Avg = 800 ÷ 15 = ✓ 53.33

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Q43. एक परिवार में 4 सदस्यों की औसत उम्र 25 वर्ष है। एक नया बच्चा जन्म लेता है। 5 वर्षों बाद औसत उम्र 30 हो जाती है। बच्चे की वर्तमान उम्र?

हल:
5 साल बाद:
Old 4 = 25+5 = 30 × 4 = 120
Let child’s current age = x
Then, after 5 years = x + 5
Now total = 120 + x + 5 = 125 + x
Avg = (125 + x) ÷ 5 = 30
⇒ 125 + x = 150
⇒ x = ✓ 25 वर्ष

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Q44. एक कक्षा में लड़कों का औसत 60 और लड़कियों का औसत 70 है। यदि दोनों की संख्या बराबर हो तो औसत?

हल:
Avg = (60 + 70) ÷ 2 = ✓ 65

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Q45. एक परीक्षा में 12 छात्रों का औसत अंक 58 है। 4 छात्रों का औसत 63 है, बाकी छात्रों का औसत?

हल:
Total = 12×58 = 696
Given = 4×63 = 252
Remaining = 696 – 252 = 444
Students = 8
Average = 444 ÷ 8 = ✓ 55.5

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Q46. राम, श्याम और मोहन की औसत आयु 24 वर्ष है। राम और श्याम की औसत आयु 22 वर्ष है। मोहन की आयु?

हल:
Total = 3×24 = 72
Ram + Shyam = 2×22 = 44
Mohan = 72 – 44 = ✓ 28 वर्ष

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Q47. 40 छात्रों का औसत स्कोर 50 है। एक छात्र के अंक गलत 70 की बजाय 90 लिखे गए। सही औसत?

हल:
Wrong total = 2000
Correct = 2000 – 90 + 70 = 1980
Avg = 1980 ÷ 40 = ✓ 49.5

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Q48. एक कंपनी के 5 कर्मचारियों की औसत आय ₹40,000 है। 6वें की आय ₹60,000 है। नया औसत?

हल:
5×40,000 = ₹200,000

• ₹60,000 = ₹260,000
  Avg = ₹260,000 ÷ 6 = ✓ ₹43,333.33

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Q49. कक्षा में छात्रों की औसत उम्र 14.5 वर्ष है। 10 छात्रों की औसत 15 वर्ष है, बाकी 5 की औसत?

हल:
Total = 15×14.5 = 217.5
10×15 = 150
Remaining = 217.5 – 150 = 67.5
Avg = 67.5 ÷ 5 = ✓ 13.5

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Q50. एक कोचिंग क्लास में 40 छात्रों का औसत स्कोर 60 है। एक छात्र के स्कोर को 75 की जगह 65 लिखा गया। सही औसत?

हल:
Wrong total = 40×60 = 2400
Correct = 2400 – 65 + 75 = 2410
New avg = 2410 ÷ 40 = ✓ 60.25

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🔷 PART 6 – औसत चाल, दूरी और समय (Q51 to Q60)

📘 Speed, Distance & Time Based Averages (High-Level Practical Use)

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Q51. एक व्यक्ति 60 km/hr की गति से 2 घंटे और 40 km/hr से 1 घंटे चला। औसत गति क्या होगी?

Trick:

$$\text{Total Distance} = 60×2 + 40×1 = 120 + 40 = 160 \text{ km} \text{Total Time} = 3 \text{ hrs} \text{Average Speed} = \frac{160}{3} = \boxed{53.33 km/hr}$$

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Q52. एक छात्र स्कूल जाते समय 4 km/hr और लौटते समय 6 km/hr की गति से चलता है। औसत गति?

Trick (2 equal distances):

$$\text{Avg Speed} = \frac{2xy}{x + y} = \frac{2×4×6}{4 + 6} = \frac{48}{10} = \boxed{4.8 km/hr}$$

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Q53. 3 यात्राएँ की गईं – 20 km at 30 km/hr, 40 km at 20 km/hr, 60 km at 10 km/hr। औसत गति?

हल:
Total Distance = 20 + 40 + 60 = 120 km
Total Time = $\frac{20}{30} + \frac{40}{20} + \frac{60}{10} = 0.66 + 2 + 6 = 8.66$
Average Speed = 120 ÷ 8.66 ≈ ✓ 13.86 km/hr

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Q54. एक कार 3 घंटे 60 km/hr की गति से और 2 घंटे 90 km/hr की गति से चली। औसत गति?

हल:
Distance = 3×60 + 2×90 = 180 + 180 = 360 km
Time = 5 hrs
Avg Speed = 360 ÷ 5 = ✓ 72 km/hr

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Q55. एक ट्रेन पहले 2 घंटे 80 km/hr और अगले 3 घंटे 40 km/hr की गति से चली। औसत गति?

Distance =
80×2 = 160
40×3 = 120
Total = 280 km
Time = 5 hrs
Avg = 280 ÷ 5 = ✓ 56 km/hr

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Q56. राम 4 km का एक राउंड एक बार 6 km/hr और दूसरी बार 12 km/hr से करता है। औसत चाल?

Trick (equal distances):

$$\text{Avg Speed} = \frac{2xy}{x + y} = \frac{2×6×12}{6 + 12} = \frac{144}{18} = \boxed{8 km/hr}$$

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Q57. एक बस 60 km/h से 5 घंटे और फिर 80 km/h से 3 घंटे चलती है। औसत चाल?

Total Distance = 60×5 + 80×3 = 300 + 240 = 540 km
Time = 8 hrs
Avg = 540 ÷ 8 = ✓ 67.5 km/hr

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Q58. कोई व्यक्ति 3 घंटे 20 km/h और 2 घंटे 10 km/h से चला। औसत गति?

Total = 3×20 + 2×10 = 60 + 20 = 80
Time = 5 hrs
Avg = 80 ÷ 5 = ✓ 16 km/hr

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Q59. एक यात्रा को आधे समय 40 km/h और आधे समय 60 km/h से पूरा किया गया। औसत चाल?

Trick (Equal Time):

$$\text{Average Speed} = \frac{x + y}{2} = \frac{40 + 60}{2} = \boxed{50 km/hr}$$

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Q60. 20 km की यात्रा आधी दूरी 30 km/h और बाकी 60 km/h से की गई। औसत चाल?

Trick (Equal Distance):

$$\text{Avg Speed} = \frac{2xy}{x + y} = \frac{2×30×60}{30 + 60} = \frac{3600}{90} = \boxed{40 km/hr}$$

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📌 Short Trick Summary:

Condition	Formula
Equal Distance	$\frac{2xy}{x + y}$
Equal Time	$\frac{x + y}{2}$
General Case	$\frac{\text{Total Distance}}{\text{Total Time}}$

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🔷 PART 7 – Series & Pattern Based Averages (Q61 to Q70)

📘 संख्या शृंखला, वर्ग/घन, सम/विषम आदि पैटर्न पर आधारित औसत के प्रश्न

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Q61. 1 से 10 तक संख्याओं का औसत क्या होगा?

हल:
Sum = $\frac{10×(10+1)}{2} = 55$
Average = 55 ÷ 10 = ✓ 5.5

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Q62. पहले 20 सम संख्याओं का औसत?

सम संख्याएँ: 2, 4, 6, ..., 40
Avg = $\frac{2 + 40}{2} = \boxed{21}$

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Q63. पहले 15 विषम संख्याओं का औसत?

विषम संख्याएँ: 1, 3, ..., 29
Avg = $\frac{1 + 29}{2} = \boxed{15}$

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Q64. संख्याएँ: 2, 4, 6, ..., 100 — औसत?

ये 2 से 100 तक की सम संख्याएँ हैं
Count = $\frac{100 – 2}{2} + 1 = 50$
Avg = $\frac{2 + 100}{2} = \boxed{51}$

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Q65. पहले 10 प्राकृतिक संख्याओं का औसत?

Sum = $\frac{10×(10 + 1)}{2} = 55$
Avg = 55 ÷ 10 = ✓ 5.5

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Q66. संख्याएँ: 11, 13, 15, ..., 49 — औसत?

ये 11 से 49 तक की विषम संख्याएँ हैं
Count = $\frac{49 – 11}{2} + 1 = 20$
Avg = $\frac{11 + 49}{2} = \boxed{30}$

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Q67. संख्याएँ: 1², 2², 3², ..., 10² का औसत?

Sum of squares = $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{10×11×21}{6} = 385$
Avg = 385 ÷ 10 = ✓ 38.5

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Q68. संख्याएँ: 1³, 2³, 3³, ..., 5³ का औसत?

Sum of cubes = $\left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 = \left( \frac{5×6}{2} \right)^2 = 225$
Avg = 225 ÷ 5 = ✓ 45

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Q69. 20 से 60 तक के सभी पूर्ण संख्याओं का औसत?

Avg = $\frac{20 + 60}{2} = \boxed{40}$

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Q70. एक अंकगणितीय श्रेणी (AP): 5, 10, 15, ..., 100 का औसत?

Avg = $\frac{First + Last}{2} = \frac{5 + 100}{2} = \boxed{52.5}$

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📌 Series Average Shortcuts:

Series Type	Average Formula
First n natural numbers	$\frac{n + 1}{2}$
First n odd numbers	$n$
First n even numbers	$n + 1$
Squares (1² to n²)	$\frac{(n+1)(2n+1)}{6}$
Cubes (1³ to n³)	$\left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 ÷ n$

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🔷 PART 8 – Mixed Concept with Smart Tricks (Q71 to Q80)

📘 Multi-concept Average Problems with Fast Tricks for Exams

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Q71. 5 संख्याओं का औसत 70 है। एक संख्या को 85 की बजाय 95 मान लिया गया। सही औसत?

गलती = 95 – 85 = +10
Average Error = 10 ÷ 5 = ✓ 2 बढ़ा है
सही औसत = 70 – 2 = ✓ 68

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Q72. एक कक्षा में 30 छात्रों का औसत 50 है। एक छात्र का स्कोर गलती से 40 की जगह 70 जोड़ दिया गया। सही औसत?

Error = +30
Effect on avg = 30 ÷ 30 = +1
सही औसत = 50 – 1 = ✓ 49

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Q73. 7 संख्याओं का औसत 45 है। यदि 6 संख्याओं का कुल योग 260 है, तो सातवीं संख्या?

Total = 7×45 = 315
Missing = 315 – 260 = ✓ 55

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Q74. औसत 25 है। 8 संख्याएँ। एक संख्या को 45 की जगह 25 लिया गया। सही औसत?

Error = –20
Effect = –20 ÷ 8 = –2.5
सही औसत = 25 + 2.5 = ✓ 27.5

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Q75. 12 संख्याओं का औसत 60 है। दो संख्याओं को जोड़ने में 5 और 7 अधिक जोड़ा गया। सही औसत?

Extra = 5 + 7 = 12
Impact = 12 ÷ 12 = 1
Correct avg = 60 – 1 = ✓ 59

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Q76. एक कर्मचारी की औसत आय ₹25000 है। 3 माह बाद उसकी आय ₹30000 हो गई। नए 3 महीनों का औसत?

(₹25000×3 + ₹30000×3) ÷ 6 = ₹165000 ÷ 6 = ✓ ₹27500

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Q77. 1 से 100 तक के सम संख्याओं का औसत?

Even nos: 2 to 100 → total 50 numbers
Avg = (2 + 100)/2 = ✓ 51

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Q78. 1 से 100 तक के विषम संख्याओं का औसत?

Odd nos: 1 to 99 → total 50 numbers
Avg = (1 + 99)/2 = ✓ 50

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Q79. एक कक्षा में लड़कों की संख्या 20, औसत अंक 60; लड़कियों की संख्या 30, औसत 70। मिलाकर औसत?

Total = (20×60 + 30×70) = 1200 + 2100 = 3300
Students = 50
Avg = 3300 ÷ 50 = ✓ 66

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Q80. एक समूह की औसत उम्र 40 वर्ष है। एक नए सदस्य के शामिल होने से औसत बढ़कर 41 वर्ष हो गया। समूह में पहले कितने सदस्य थे?

हल:

मान लें पहले $x$ सदस्य थे।

➤ पुरानी कुल उम्र = $40x$
➤ नई कुल उम्र = $41(x + 1)$

अब नए सदस्य की उम्र $y$ है, तो:

$$40x + y = 41(x + 1) \Rightarrow 40x + y = 41x + 41 \Rightarrow y = 41x + 41 - 40x = x + 41$$

∴ नए सदस्य की उम्र = $x + 41$

➡ अब मान लें प्रश्न में दिया गया है कि नए सदस्य की उम्र 45 वर्ष है, तो:

$$x + 41 = 45 \Rightarrow x = \boxed{4}$$

✅ उत्तर: पहले समूह में 4 सदस्य थे।

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