Aligation & Mixture – Concept, Formula, Tricks, Questions | Maths for CET 2025 – GyaanPediya

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 Aligation & Mixture – Basic Concepts & Foundation 

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 अलिगेशन और मिश्रण – परिचय (What is Aligation & Mixture?)

Mathematics में Aligation और Mixture एक ऐसा टॉपिक है जिसे CET जैसी प्रतियोगी परीक्षाओं में बार-बार पूछा जाता है। यह मुख्यतः अनुपात, प्रतिशत और मिश्रण के सवालों को हल करने की आसान और ट्रिकी तकनीक है।

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🧠 Aligation का मतलब क्या होता है?

Aligation एक गणितीय तकनीक है जिसका उपयोग तब किया जाता है जब हमें दो अलग-अलग कीमतों या प्रतिशत वाले वस्तुओं को एक निश्चित अनुपात में मिलाकर कोई मिश्रण तैयार करना हो।

📌 उदाहरण (Basic Intuition):

आपके पास दूध है जिसकी कीमत ₹60 प्रति लीटर है और पानी जिसकी कोई कीमत नहीं है (₹0)। अगर आप चाहते हैं कि दूध और पानी का मिश्रण ₹40 प्रति लीटर की दर से बने — तो सवाल ये होगा कि आप दूध और पानी को किस अनुपात में मिलाएं?

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 Mixture का अर्थ क्या है?

Mixture (मिश्रण) शब्द का अर्थ है – दो या अधिक वस्तुओं का संयोजन। इसमें हम दो या दो से अधिक द्रव्यों (liquids), वस्तुओं या अवयवों (components) को मिलाकर एक संयुक्त पदार्थ (compound substance) बनाते हैं।

📍 Exam में कैसे पूछे जाते हैं Mixture Questions?

• दूध + पानी का मिश्रण

• दो तरह की दाल मिलाकर औसत कीमत

• सॉल्ट + वॉटर का अनुपात

• दो प्रकार के चावल की कीमतें

• Replacement (निकालकर वापस भरना)

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 Aligation कब लगाना चाहिए?

जब आपके पास हो:

• दो वस्तुएं (या मिश्रण) जिनकी कीमत/प्रतिशत अलग हो

• और आपको उनका औसत निकालना हो या उन्हें किसी fixed price में मिलाना हो

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 Aligation Use Cases (CET में पूछे जाने वाले Practical Uses)

Situation	Example
Price Mix	₹60/kg और ₹30/kg चावल को ₹50/kg पर बेचना है
Concentration	25% acid और 50% acid वाला solution
Milk-Water Ratio	60% दूध, 40% पानी वाला मिश्रण
Profit Scenario	3 प्रकार के तेल मिलाकर profit निकालना
Replacement	20L solution से 5L निकाला, पानी मिलाया

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🔍 CET Specific Terms (Must-Recognize):

CET में दिखने वाले शब्द	अर्थ
Dearer, Cheaper	महँगी और सस्ती वस्तु
Mean Price	मिश्रण की कीमत
Ratio Find	अनुपात निकालना
Replacement Mix	निकालकर वापस भरना
Average Cost	औसत लागत

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 क्यों CET 2025 में ये टॉपिक इतना ज़रूरी है?

• CET के हर Set में Arithmetic से 5–6 प्रश्न होते हैं

• Aligation एक बार समझ में आ जाए तो बहुत तेज़ी से हल किया जा सकता है

• Non-Traditional Questions जैसे दाल/दूध/acid questions इसमें आते हैं

• Graph, Table और DI में भी यह logic embedded होता है

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📝 CET Example Question (Basic)

Q1. दूध ₹60/ltr और पानी ₹0/ltr है। यदि मिश्रण की कीमत ₹40/ltr चाहिए, तो अनुपात क्या होगा?

A) 1:1  B) 2:3  C) 1:2  D) 1:3
✔️ सही उत्तर: D) 1:3

📘 Explanation:

$$\text{Ratio} = \frac{60 - 40}{40 - 0} = \frac{20}{40} = 1:2$$

लेकिन यह सस्ती:महँगी का ratio है →
तो दूध : पानी = 1 : 2
(लेकिन CET में उल्टा पूछा जाता है — फिर mix = 40 है, तो ratio होगा 1:3)

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📘 एक और प्रकार: Simple Mixing

आपके पास है:

• चावल A – ₹40/kg

• चावल B – ₹60/kg

• Final Mixture – ₹50/kg

तो आप Aligation से निकालेंगे:

$$\frac{60 - 50}{50 - 40} = \frac{10}{10} = 1 : 1$$

➡️ दोनों को बराबर मात्रा में मिलाना होगा।

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 Aligation का Formula & Cross Method (सूत्र सहित समझ)

जब दो वस्तुएं अलग-अलग कीमत या प्रतिशत पर हों और आपको एक मिश्रण बनाना हो जिसकी एक निश्चित कीमत हो — तब हम अलिगेशन का क्रॉस (cross) फॉर्मूला लगाते हैं।

📌 Main Formula:

यदि दो वस्तुएं A और B हैं, और मिश्रण की कीमत M है:

$$\text{Ratio} = \frac{B - M}{M - A}$$

जहां:

• A = सस्ती वस्तु (Lower Price)

• B = महंगी वस्तु (Higher Price)

• M = मिश्रण की कीमत (Mean Price)

• Ratio = A : B के अनुपात में मिलाना है

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🎯 Example – Basic

प्रश्न:
₹60/kg और ₹30/kg वाली दो प्रकार की चाय को इस तरह मिलाया गया कि मिश्रण की कीमत ₹50/kg हो। अनुपात क्या होगा?

📘 समाधान:
A = ₹30, B = ₹60, M = ₹50

$$\text{Ratio} = \frac{60 - 50}{50 - 30} = \frac{10}{20} = 1:2$$

➡️ 1 भाग ₹30/kg वाली चाय + 2 भाग ₹60/kg वाली

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📘 Replacement Method in Mixture (निकालकर भरना – CET Favourite)

यह तब प्रयोग होता है जब किसी मिश्रण से बार-बार एक निश्चित मात्रा निकाली जाती है और उतनी ही मात्रा किसी दूसरी वस्तु (जैसे पानी) से भर दी जाती है।

✅ Formula:

$$\text{Final Quantity Left} = Q \times \left(1 - \frac{x}{Q} \right)^n$$

जहां:

• Q = मिश्रण की कुल मात्रा

• x = हर बार निकाली गई मात्रा

• n = बार की संख्या

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🔍 Example – CET Style

प्रश्न:
100 लीटर दूध-पानी मिश्रण में से 10 लीटर निकाला और पानी मिला दिया गया। यह प्रक्रिया 2 बार की गई। अंत में दूध की मात्रा कितनी बची?

📘 समाधान:

$$= 100 \times \left(1 - \frac{10}{100} \right)^2 = 100 \times (0.9)^2 = 100 \times 0.81 = \boxed{81 लीटर}$$

➡️ अब पानी की मात्रा: 100 – 81 = 19 लीटर

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 Reverse Aligation – CET में पूछा जाने वाला ट्रिक सवाल

🧠 Example:

किसी मिश्रण में पानी की मात्रा 25% है। बताइए दूध : पानी का अनुपात क्या होगा?

📘 समाधान:

अगर 25% पानी है तो 75% दूध है
तो दूध : पानी = 75 : 25 = 3 : 1

➡️ ये सवाल सीधे percentage से ratio बदलने पर आधारित होते हैं।

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🔍 Table: CET में पूछे जाने वाले Aligation Applications

विषय	उपयोग का प्रकार
दूध + पानी	अनुपात निकालना
दो प्रकार के चावल	औसत कीमत
दो profit margin	CP/MP का mix
Replacement	Formula आधारित
Percentage acid	Solution आधारित

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🧩 CET Practice Questions 

Q1. एक मिश्रण में पानी 20% है। दूध : पानी का अनुपात क्या है?

A) 4:1  B) 3:1  C) 1:4  D) 2:3
✔️ उत्तर: B) 4:1
📘 Explanation: पानी 20% → दूध 80% → 80:20 = 4:1

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Q2. ₹80/kg और ₹120/kg चावल मिलाकर ₹100/kg की दर से मिश्रण बनाना है। अनुपात क्या होगा?

A) 1:2  B) 2:1  C) 1:1  D) 3:1
✔️ उत्तर: A) 1:1
📘 Explanation:

$$\frac{120 - 100}{100 - 80} = \frac{20}{20} = 1:1$$

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Q3. 60L मिश्रण में से 12L निकाला और पानी मिलाया गया। यह प्रक्रिया 2 बार दोहराई गई। प्रारंभिक मिश्रण दूध था। अंत में दूध कितना बचा?

A) 36L  B) 40L  C) 44.1L  D) 42L
✔️ उत्तर: C) 44.1L
📘 Explanation:

$$60 \times \left(1 - \frac{12}{60} \right)^2 = 60 \times (0.8)^2 = 60 \times 0.64 = 38.4L$$

Oops! Correction — Option missing! Let’s fix it:
✔️ उत्तर: None match – सही जवाब: 38.4L

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 Replacement Based Aligation – Advanced CET Level

Replacement के सवालों में मिश्रण से कुछ भाग निकाला जाता है और उसकी जगह दूसरा पदार्थ (अक्सर पानी) मिलाया जाता है। यह प्रोसेस कई बार दोहराई जाती है।

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📌 Replacement Formula Recap:

$$\text{Final Quantity Left} = Q \times \left(1 - \frac{x}{Q} \right)^n$$

जहां:

• Q = मिश्रण की प्रारंभिक मात्रा

• x = हर बार निकाली गई मात्रा

• n = प्रक्रियाओं की संख्या

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🧪 CET Trick Example:

Q1. 80 लीटर दूध में से 20 लीटर निकाला गया और पानी से भर दिया गया। यह प्रक्रिया 2 बार दोहराई गई। अंत में दूध की मात्रा कितनी होगी?

📘 समाधान:

$$= 80 \times \left(1 - \frac{20}{80} \right)^2 = 80 \times (0.75)^2 = 80 \times 0.5625 = \boxed{45 लीटर}$$

➡️ पानी = 80 – 45 = 35 लीटर

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 Profit Based Aligation – CET के Hidden Mixture Questions

जब दुकानदार दो वस्तुएं (अक्सर सस्ती व महंगी) मिलाकर लाभ कमाता है, तो Aligation का इस्तेमाल Profit निकालने के लिए भी होता है।

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📌 Example: Profit on Adulteration

Q2. एक दुकानदार ₹30/kg चावल में ₹20/kg के चावल मिलाकर ₹28/kg पर बेचता है। लाभ % क्या है?

📘 Step 1:
यहां CP = 20 और 30 का Aligation है
Selling Price = ₹28
Ratio =

$$\frac{30 - 28}{28 - 20} = \frac{2}{8} = 1:4$$

मतलब – ₹30/kg वाले चावल = 1 भाग
₹20/kg वाले चावल = 4 भाग
Total = 5 भाग

📘 Step 2:
Total Cost Price =
(1×30 + 4×20)/5 = (30 + 80)/5 = ₹22
SP = ₹28
Profit = $28 – 22 = ₹6$

📌 %Profit = $\frac{6}{22} \times 100 ≈ \boxed{27.27\%}$

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 % वाले सवालों में Aligation कैसे लगाएं?

CET में अकसर Acid, Salt, या Sugar % वाले सवाल पूछे जाते हैं। वहां भी अलिगेशन से काम आसान होता है।

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📘 Example:

Q3. 60% और 20% acid वाले दो solutions को इस प्रकार मिलाएं कि नया solution 40% का बने। अनुपात?

📘 समाधान:

$$\frac{60 - 40}{40 - 20} = \frac{20}{20} = 1 : 1$$

➡️ दोनों को समान मात्रा में मिलाओ

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📊 CET में आने वाले Hidden Aligation Types

Type	Example	Technique
Acid/Alcohol Mix	% से ratio	Use cross rule
CP/MP Mix	CP → ratio → profit	Reverse profit
Replacement	Remove + Fill	Apply Power Formula
Water-Milk %	Final % change	Reverse Calculation
Quantity Based	Final quantity given	Work backward

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✅ Q4. 100 लीटर दूध में से 20 लीटर निकाला गया और पानी मिलाया गया। यह प्रक्रिया 2 बार की गई। अंत में दूध कितना बचा?

A) 64  B) 51.2  C) 49  D) 56.2
✔️ उत्तर: A) 64
📘 Explanation:
यह Replacement आधारित प्रश्न है।
हर बार 20 लीटर यानी 20% निकाला जाता है ⇒

$$= 100 \times \left(1 - \frac{20}{100} \right)^2 = 100 \times (0.8)^2 = 100 \times 0.64 = \boxed{64 \text{ लीटर दूध बचा}}$$

➡️ इसलिए सही उत्तर है A) 64

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✅ Q5. 25% और 75% alcohol को मिलाकर 50% alcohol बनाना है। अनुपात?

A) 2:1  B) 1:2  C) 1:1  D) 3:1
✔️ उत्तर: C) 1:1
📘 Explanation:
Aligation लगाएं —

$$\frac{75 - 50}{50 - 25} = \frac{25}{25} = \boxed{1:1}$$

➡️ दोनों solutions को समान अनुपात में मिलाना होगा।

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Q7. एक मिश्रण में 80% दूध है। 20 लीटर पानी मिलाने पर दूध की मात्रा 60% हो जाती है। प्रारंभिक मात्रा?

A) 40  B) 50  C) 60  D) 80
✔️ उत्तर: A) 40L
📘 80% = x
x / (x+20) = 60%
⇒ 4x = 3x + 60
⇒ x = 60L – 20L = 40L

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📌 CET Exam Tips:

✅ Replacement वाले सवाल सीधे formula से करें
✅ % को सीधे Aligation से हल करने की आदत डालें
✅ Profit & Loss वाले mixture सवाल Hidden होते हैं
✅ Ratio निकालने में cross rule fastest है

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 तीन वस्तुओं का मिश्रण – Multiple Quantity Aligation

Aligation सिर्फ दो नहीं बल्कि तीन या अधिक वस्तुओं पर भी लागू होता है। जब एक से अधिक द्रव्य या वस्तुएं अलग-अलग दर या प्रतिशत पर हों, तब हम उनका संयुक्त अनुपात निकालने के लिए Multiple Aligation का प्रयोग करते हैं।

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📌 Example – 3 Types of Rice Mix:

Q1. ₹20/kg, ₹30/kg और ₹40/kg वाले चावल को ₹32/kg पर बेचना है। यदि ₹20 और ₹40 वाले चावल को बराबर मिलाया जाए, तो ₹30/kg वाले चावल को किस अनुपात में मिलाना होगा?

📘 Step-by-step:

Step 1: ₹20 और ₹40 → mean price =

$$\frac{20 + 40}{2} = ₹30$$

Step 2: Now apply Aligation between ₹30 and ₹30 → कोई जरूरत नहीं
मतलब — तीनों बराबर मात्रा में हो सकते हैं।

✔️ Final Ratio → 1 : 1 : 1

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 Advanced Replacement – Multiple Times & Reverse % Questions

जब कोई प्रक्रिया 3 या उससे अधिक बार दोहराई जाती है, तब CET में यही पूछा जाता है कि कितना मूल पदार्थ बचा?

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📌 Advanced Formula Reminder:

$$\text{Final Qty} = Q \times \left(1 - \frac{x}{Q} \right)^n$$

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🧠 CET Trick Example:

Q2. 60L दूध में से 10L निकाला गया और पानी से भर दिया गया। यह प्रक्रिया 3 बार दोहराई गई। अंत में दूध कितना बचा?

📘 समाधान:

$$= 60 \times \left(1 - \frac{10}{60} \right)^3 = 60 \times (0.833)^3 ≈ 60 \times 0.5787 ≈ \boxed{34.7L}$$

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 Aligation in Graph/Chart Format (Data-based Mix)

अब CET में नए pattern के सवाल आते हैं, जैसे – Bar Graph या Pie Chart देकर Aligation Based Data Interpretation (DI) पूछा जाता है।

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📘 CET Level Data-Type Example:

Q3. एक ग्राफ दिखाता है 3 किस्म की दालें – A (₹40/kg), B (₹50/kg), C (₹60/kg) – जिनका मिश्रण ₹52/kg के rate से बेचा गया। दाल B सबसे अधिक मात्रा में है। अनुमान लगाइए सही अनुपात:

A) 1:2:3  B) 2:3:4  C) 1:1:2  D) 1:2:2
✔️ उत्तर: D) 1:2:2
📘 Explanation: ₹52 मिश्रण है और ₹60 से कम → तो ज्यादा quantity ₹60 वाली नहीं हो सकती। Visual ratio check से D विकल्प सही बैठता है।

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 प्रतिशत से Ratio में Aligation – CET Shortcut Table

% Value	Converted Ratio	Comments
25%	3:1	75:25
20%	4:1	80:20
33.33%	2:1	66.6:33.3
40%	3:2	60:40
60%	3:2	60:40

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📘 CET Practice Questions – Part 4

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Q4. ₹60/kg और ₹80/kg तेल को 3:1 में मिलाया गया। मिश्रण की कीमत?

A) ₹70  B) ₹65  C) ₹68  D) ₹66
✔️ उत्तर: C) ₹68
📘 Explanation:

$$\text{Total Cost} = \frac{3×60 + 1×80}{4} = \frac{180 + 80}{4} = ₹65$$

❌ सही उत्तर: ₹65 ⇒ Option B ✅

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Q5. एक मिश्रण में 25% पानी है। दूध की प्रतिशतता क्या है?

A) 50%  B) 60%  C) 75%  D) 80%
✔️ उत्तर: C) 75%
📘 Explanation: कुल 100% में से 25% पानी है, तो दूध = 75%

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Q6. 80L मिश्रण से 20L निकाला और पानी डाला। यह प्रक्रिया 3 बार हुई। दूध कितना बचा?

A) 45.6L  B) 38.4L  C) 51.2L  D) 50L
✔️ उत्तर: B) 38.4L
📘 Explanation:

$$= 80 \times (0.75)^3 = 80 \times 0.422 = \boxed{33.76L} (Approx)$$

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📌 Final CET Aligation Mistake Avoid Chart

गलती	सुधार
Mean Price को गलत पहचानना	हमेशा CP/Selling Price देखकर तय करें
Ratio में गलत Direction	Cheaper : Dearer → उलट मत करें
% को Ratio में गलत बदलना	Always simplify properly
Replacement में formula miss करना	(1 – x/Q)^n का प्रयोग करें

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 CET Final 1-Page Formula Sheet (Revision Map)

Concept	Formula / Shortcut
Mean Price (2 Items)	$\frac{CP1 + CP2}{2}$ or Aligation
Aligation Ratio	$\frac{High - Mean}{Mean - Low}$
Replacement Formula	$Q \times (1 - \frac{x}{Q})^n$
Profit by Mixing	CP Mix → SP → %Profit
% to Ratio	e.g., 20% → 80:20 = 4:1
Aligation in %	Same cross method applies
Time-Based Questions	% × Total = Replaced Qty

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 Final CET Tricks (Shortcut Recap)

• Aligation Formula: Always apply cross formula for mixing

• Replacement Logic: Repeated process → Exponential decay

• Visual Clues: Diagrams = Ratio hidden in shapes

• Acid/Sugar/Alcohol % = Use same Aligation logic

• CET Focus: 2-3 Aligation Qs guaranteed – mostly 1 conceptual, 1 replacement, 1 % based

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Example

01). ₹30/kg और ₹45/kg की चीजें मिलाकर ₹39/kg का मिश्रण बनाना है। अनुपात क्या होगा?

A) 1:2  B) 2:1  C) 3:2  D) 2:3
✔️ उत्तर: A) 1:2
📘 Explanation:

$$\frac{45 - 39}{39 - 30} = \frac{6}{9} = 2:3 ⇒ उलट = 1:2$$

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02). 100L दूध में से 10L निकाला और उतना पानी मिलाया गया। यह 2 बार हुआ। अंतिम दूध की मात्रा?

A) 81L  B) 64L  C) 72L  D) 88L
✔️ उत्तर: A) 81L
📘 Formula:

$$100 \times (0.9)^2 = 100 \times 0.81 = \boxed{81}$$

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03). 20% और 50% alcohol वाले two solutions को 1:2 में मिलाया गया। Final percentage?

A) 40%  B) 46.66%  C) 38.33%  D) 30%
✔️ उत्तर: C) 38.33%
📘 Formula:

$$\frac{1×20 + 2×50}{3} = \frac{120}{3} = 40$$

Oops! सही उत्तर: A) 40%

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04). ₹70/kg और ₹50/kg items को 3:1 में मिलाया गया। Final cost?

A) ₹65  B) ₹60  C) ₹67.5  D) ₹62.5
✔️ उत्तर: C) ₹67.5
📘

$$= \frac{3×70 + 1×50}{4} = \frac{260}{4} = ₹65$$

Correction: ✔️ उत्तर: A) ₹65 ✅

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05). ₹20, ₹30 और ₹50 वाली वस्तुएं बराबर मिलाई गईं। Mean price?

A) ₹25  B) ₹33.33  C) ₹30  D) ₹32
✔️ उत्तर: C) ₹30
📘

$$\frac{20 + 30 + 50}{3} = \boxed{33.33}$$

Correction: ✔️ उत्तर: B) ₹33.33 ✅

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06). यदि 10L मिश्रण से 2L निकाला और पानी मिलाया जाए। यह 3 बार हो। दूध कितना बचा?

A) 7.5L  B) 6.4L  C) 5.9L  D) 6.8L
✔️ उत्तर: B) 6.4L
📘

$$10 \times (0.8)^3 = 10 \times 0.512 = \boxed{5.12L}$$

Correction: ✔️ उत्तर: None of the options match (Answer ≈ 5.12L) ✅

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07). ₹24 और ₹30 वाले दो प्रकार के शक्कर मिलाकर ₹27 पर बेचा गया। अनुपात क्या होगा?

A) 1:1  B) 1:2  C) 2:1  D) 2:3
✔️ उत्तर: A) 1:1
📘

$$\frac{30 - 27}{27 - 24} = \frac{3}{3} = 1:1$$

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08). दूध : पानी = 7:3 है। कितना % दूध?

A) 60%  B) 70%  C) 66.67%  D) 80%
✔️ उत्तर: C) 66.67%
📘

$$\frac{7}{10} \times 100 = \boxed{70\%}$$

Correction: ✔️ उत्तर: B) 70% ✅

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09). Replacement में 100L से 25L निकाला और भरा गया। 1 बार प्रक्रिया। कितना दूध बचा?

A) 75L  B) 80L  C) 90L  D) 85L
✔️ उत्तर: A) 75L
📘

$$100 \times \left(1 - \frac{25}{100} \right)^1 = 100 \times 0.75 = \boxed{75}$$

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10). CET में Aligation & Mixture के कितने सवाल अपेक्षित होते हैं?

A) 2–3  B) 4–5  C) 6–8  D) 10+
✔️ उत्तर: A) 2–3
📘 Reason: CET में Mixture-Related सवाल ज्यादातर 2–3 पूछे जाते हैं – 1 basic, 1 %/replacement, 1 DI-based

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✅ Final CET Summary Table 

Type	Concept	Tip
Basic	Aligation Ratio	Cross apply
% Mix	Acid, Alcohol	Direct apply
Replacement	Exponential	Use formula
3-items	Mean Price	Divide equally
Hidden	Profit Mix	Reverse Profit Logic
Data	Graph/Table	Ratio Based DI

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